Matemáticas

La simetría estadística o, en su caso, la asimetría estudia la forma que presenta una distribución. Si se consideran distribuciones campaniformes, tomados los valores de la variable en abscisas (eje OX) y, como eje de ordenadas (OY), la perpendicular al anterior, trazada por el punto de abscisa x = , se dice que la distribución es simétrica cuando existe a ambos lados del eje parejas de valores equidistantes del mismo y, además, con la misma frecuencia. En caso contrario, será asimétrica. Se trata ahora de definir unos valores que reflejen la simetría o la asimetría de una distribución y que tenga carácter de índices. Cuando la distribución es simétrica, la suma de las desviaciones es nula, ya que se sumarán tanto las positivas como las negativas. En cambio, si se toma la potencia tercera de dichas desviaciones, se logrará una información significativa. La razón de que se elija la tercera potencia es porque, descartadas las potencias pares, que eliminarían el signo de las...

El procedimiento matemático conocido como binomio de Newton resuelve el problema de hallar el desarrollo de:. (a + b)n. La consideración de los desarrollos de las diversas potencias de este binomio lleva a establecer que:. (a + b)n = (1). Se trata, pues, de un polinomio homogéneo, de grado n, cuyo número de términos es igual al exponente del binomio aumentado en una unidad y en el que:. El primer elemento es el primer término del binomio elevado a n, mientras que el último es el segundo, también elevado a n. Al pasar de un término al siguiente, el exponente del primer elemento del binomio, a, disminuye en una unidad y el del segundo, b, aumenta en una unidad. Así, por ejemplo:. (x + y2)5 =. Hallando los valores de los números combinatorios y operando:. (x + y2)5 = x5 + 5x4y2 + 10x3y4 +10x2y6 + 5xy8 + y10. Este desarrollo es molesto porque, una vez planteado, obliga a hallar el valor de los números combinatorios que constituyen sus coeficientes. Para calcular estos números...

La magnitud conocida como calidad estadística estudia los errores que se pueden cometer en el proceso de elaboración de un estudio estadístico. En general, dichos errores son de los siguientes tipos:. En la captación de datos. Invalidan científicamente las conclusiones a las que llegue el estudio estadístico. A veces, se deben a incompetencia de las personas encargadas de recoger los datos; en otras ocasiones, como cuando, por ejemplo, se hace una encuesta, se propone a los encuestados cuestionarios incorrectos por estar plagados de imprecisiones o de malos planteamientos. Mención especial merece el caso de errores intencionados, buscando algún beneficio. De interpretación. Suelen proceder de errores de cálculo. En otras ocasiones se trata de equivocaciones cometidas por no usar una metodología adecuada, como puede ser una periodificación inexacta, un mal empleo de series cronológicas adjudicando variaciones que no se efectúan en intervalos temporales regulares, etcétera. De...

Combinatoria. Con frecuencia, en la vida ordinaria, dado un conjunto de elementos, hay que considerar, además de la naturaleza de los mismos, el orden en que aparecen. Un ejemplo de ello son las quinielas de fútbol, en las de además de saber qué signos son los apropiados, es necesario conocer, si se desea ganar, el orden en que hay que colocarlos. Además de apostar que la quiniela de la próxima semana va a tener 6 «doses», 5 «unos» y 4 «equis», es necesario conocer el lugar en que debe ir colocado cada signo. La consideración conjunta de ambos factores, elementos y orden de los mismos, conduce al análisis combinatorio, el cual es profusamente utilizado en innumerables aplicaciones prácticas en el campo de la matemática pura y en diversos aspectos de la aplicada, como son el cálculo de probabilidades, la estadística y la teoría de los juegos. Análogamente, también es empleado por la física. En el análisis combinatorio, también conocido como combinatoria, se distinguen dos partes:...

En estadística se entiende por concentración el estudio de la distribución de los valores de la variable. Se trata de una medida que tiene aplicación en varias ramas científicas, especialmente en Economía o Sociología, a la hora, por ejemplo, de considerar como se distribuye en una población la riqueza, lo que va a constituir una medida de la distribución equitativa de la renta. En este sentido, debe aclararse que los promedios muy a menudo no son representativos de esa distribución, ni incluso acompañados de la varianza. En resumen, dado un conjunto de ciudadanos cuyas rentas anuales son, ordenadas en sentido creciente, r1, r2,…, rn, se quiere estudiar en qué medida el valor:. está repartido equitativamente, desigualmente, en qué medida desigualmente, etcétera. Por supuesto, pueden darse dos casos extremos. Suponiendo que la renta total sea R, cabe la posibilidad de:. Concentración máxima: un rentista acapare la renta total, con lo que:. r1 = R y r2 = r3 = ... = rn = 0. ...

Cuando en un problema físico o un sistema matemático existe dependencia funcional, a cada valor de la variable independiente de la función analizada le corresponde exactamente un valor de la variable dependiente. De esta forma, si los pares obtenidos (xi, yi) se representan en un diagrama cartesiano, se observará que todos ellos quedan sobre una línea, que es la gráfica de la función. Así, por ejemplo, si se consideramos la ley de Boyle-Mariotte, que relaciona la presión y el volumen de un gas a temperatura constante y se expresa matemáticamente como:. PV = k. todos los puntos obtenidos formarían una “nube” que quedaría, como enseña la Física, sobre una hipérbola equilátera, la cual sería la gráfica de la función representativa de dicha ley. Sin embargo, no siempre sucede así. Imagínese ahora que, en un determinado conjunto de personas, se desea representar sus pesos (x) y sus correspondientes tallas (y). Está claro que para un determinado peso x1no habrá una única talla, y1,...

Se denomina curtosis a un parámetro usado en distribuciones campaniformes que estudia el agolpamiento de frecuencias en torno a la media aritmética. Como es sabido, en las distribuciones en forma de campana, los valores de la variable se sitúan sobre el eje OX, tomando el punto x = como origen de coordenadas, por lo que el eje OY es la perpendicular por este punto al eje de abscisas. De esta manera, representando la frecuencia de cada valor de la variable (xi) en ordenadas, se logra una curva en forma de campana, y de ahí el nombre de la distribución. La curtosis también se llama apuntamiento, ya que es una medida de lo más o menos puntiaguda que puede ser la campana. Para medirla, se toma como referencia la denominada campana de Gauss, cuya ecuación es:. y =. siendo y , la media aritmética y la desviación típica, respectivamente. La consideración de esta campana permite clasificar a las distribuciones campaniformes en tres grupos:. Mesocúrticas: tienen el mismo apuntamiento...

La curva de Lorentz tiene por objeto expresar gráficamente la concentración de una variable, entendiendo por tal el mayor o menor grado de equidistribución de la misma. Se trata de una representación muy frecuente en economía para estudiar el reparto de ciertos parámetros, como los salarios o la renta, en una determinada población. Supóngase el siguiente caso, en el que las dos primeras columnas son datos obtenidos de observaciones en una empresa:. Salario diario. (en $). Trabajadores. Masa salarial. (en $). Porcentajes acumulados. Trabajadores. Masa salarial. 0 – 30. 120. 1.800. 15. 6. 30 – 40. 280. 9.800. 35. 32. 40 - 50. 310. 13.950. 38. 45. 50 - 60. 80. 4.400. 10. 14. 60 - 70. 12. 780. 2. 3. Totales. 802. 30.730. 100. 100. % masa salarial. 100. 80. 60. 40. 20. 0 20 40 60 80 100 % trabajadores. Si se calcula el total de las masas salariales (multiplicando el número de trabajadores por la marca de clase de cada intervalo salarial), se...

Datos estadísticos. El origen de la ciencia estadística se pierde en la noche de los tiempos. Ya dos milenios a.C., hay constancia de censos realizados en China y, mucho antes del principio de nuestra era, sabemos que los romanos también efectuaban censos a fin de conocer la demografía de las poblaciones sujetas al dominio del Imperio. Desde esas remotas épocas hasta las actuales, innumerables estados han llevado a cabo estudios encaminados a determinar la cuantía de sus poblaciones, de sus cosechas, de sus recursos naturales, etc. Precisamente del vocablo estado deriva el término estadística. La estadística. El término estadística tiene dos acepciones, ya sea como colección de datos o como ciencia. Como ciencia, estudia el comportamiento de los fenómenos de masas, buscando las características generales de un colectivo, con lo que se determinan unos factores estables o regulares de un cierto fenómeno. Estos factores, además de servir para describir ese fenómeno, pueden ser...

Muy a menudo, en un fenómeno estadístico más que el número de veces que aparece un dato interesa conocer cuántos hay iguales o anteriores a él. Por ejemplo, puede desearse saber el número de personas cuya renta es inferior a los 6.000 $ o en cuántas ciudades existe un desempleo superior al 8% de la población activa. La respuesta a este tipo de cuestiones se obtiene mediante las llamadas frecuencias acumuladas, que se determinan sumando a la frecuencia de cada dato todas las anteriores. La idea se ilustra en el siguiente cuadro:. Renta. ni (frecuencia absoluta. Ni (frecuencia absoluta acumulada. 0 – 2000. 50. 50. 2000 – 4000. 60. 110. 4000 – 6000. 30. 140. 6000 - 8000. 10. 150. En el cuadro anterior puede verse que 140 personas tienen renta superior o igual a 6000 $. En general:. Ni es la frecuencia con que x xi. siendo x la variable y xiun valor concreto de la misma. La representación de las frecuencias acumuladas, cuando la variable es discreta, se realiza en un...

Supóngase un suceso aleatorio, S, en el que se ha verificado n pruebas. Si se llama p a la probabilidad de que aparezca S,la probabilidad de que no se dé S es:. q = 1 – p. Designando por Sr el suceso consistente en que se verifique S enr ocasiones y, en consecuencia, que no se verifique S en las n – r veces restantes, la probabilidad de Sr viene dada por la fórmula:. P(Sr) = pr · qn-r. Esta expresión recibe el nombre de fórmula de la probabilidad binomial o de Bernoulli. En general, la relación que liga a p y q, probabilidades, como se ha dicho, de que se verifique el suceso S o bien su complementario es el desarrollo del binomio de Newton, tomando a p y q como elementos del mismo y a n como exponente. Es decir:. (p + q)n = + pn-1 q + pn-2 q2 + .....+ p0 qn. Con ello, la fórmula de Bernoulli no es sino la expresión del término enésimo de este desarrollo. La distribución binomial es de máximo interés cuando se conoce la probabilidad de que severifique un fenómeno, un hecho...

Recibe el nombre de curva de probabilidad o función de densidad de probabilidades de una variable continua a la representación de las probabilidades de cada valor de la variable. Si se conoce esta curva en el intervalo , es posible calcular la probabilidad, P(x) para un valor de dicho intervalo, la probabilidad de que x esté entre ciertos valores o bien la probabilidad de que P(x) se sitúe por encima o por debajo de determinados valores de la variable. La magnitud de estas probabilidades se determina calculando el área que proceda, según el problema planteado. Al área limitada por la función de densidad se le asigna el valor de 100 unidades, si se va a trabajar con la probabilidad definida en porcentaje, o el valor 1, si se considera la definición axiomática de probabilidad. Entre las curvas de probabilidad más notable se halla la llamada distribución normal. Si se representa tomando como eje de abscisas los valores de la variable (xi) y como eje de ordenadas el perpendicular al...

Se llama ecuaciones combinatorias a aquellas en las que la incógnita aparece formando parte de uno o más números combinatorios o afectada por el símbolo de variaciones, permutaciones o combinaciones. Por la naturaleza del problema, en estas ecuaciones sólo son válidas las soluciones naturales, es decir, las enteras y positivas. La técnica para resolverlas consiste en desarrollar los símbolos combinatorios que aparezcan, par de convertir la ecuación dada en otra algebraica. Esta ecuación algebraica se resolverá por los métodos habituales. En este tipo de problemas es conveniente recordar que:. n! = n · (n – 1)!. O bien:. n! = n · (n –1) · (n-2)!. Es decir, el factorial de un número puede escribirse tomándose los factores que se desee y multiplicando dichos factores por el factorial del factor siguiente al último tomado. Problema 1. Calcular m para que:. Vm,2 + V(m-2),2 + V(m-4),2 = 98. Solución. Aplicando la fórmula del cálculo de variaciones:. m. (m – 1) + (m – 2) · (m –...

Sea una variable aleatoria discreta xi cuyas correspondientes probabilidades son pi:. Variable. Probabilidad. x1. p1. x2. p2. x3. p3. ..... ..... xn. pn. Se llama esperanza matemática de la variable xi a la suma siguiente:. E(X) = x1 · p1 + x2 · p2 + x3 · p3 + ....+ xn . pn. Expresándolo con el símbolo del sumatorio:. E(X) =. La esperanza matemática tiene las siguientes propiedades:. La esperanza matemática de una constante es igual a dicha constante:. E(k) = k. Las constantes en producto o en cociente pueden salir fuera del símbolo de esperanza matemática:. E(k · X) = k · E(x) ; E. La esperanza matemática de la suma algebraica de dos o más variables es igual a la suma algebraica de las esperanzas de esas variables, lo que se expresa mediante:. E(X. La esperanza matemática del producto de dos o más variables aleatorias es igual al producto de las esperanzas matemáticas de las mismas:. E(X · Y · ... Z) = E(X) · E(Y) · ... E(Z). La esperanza matemática de la...

En la actualidad se da el nombre de estadística a la parte de las matemáticas que se ocupa de analizar los datos ligados a un cierto fenómeno, para elaborar conclusiones a partir de los mismos o realizar predicciones sobre la evolución del fenómeno considerado. La elaboración de conclusiones compete a la estadística descriptiva, mientras que la predictiva se conoce como estadística inferencial. Los orígenes de la estadística se remontan a la antigüedad remota. Se han recogido pruebas que demuestran que ya en la prehistoria el ser humano llevaba una cierta contabilidad de sus recursos y sus bienes. Se han descubierto marcas en los más diversos medios (pieles, maderas, rocas, etcétera) que reflejaban el número de personas de la tribu, del ganado poseído, de las pieles disponibles y de todos aquellos datos que considerara de interés. En las primeras civilizaciones, se sigue encontrando rastros de una primitiva ciencia estadística. Así, los egipcios llevaban un control estricto de su...

Se llama estadísticas de atributos a aquellas que contemplan en cada individuo de la población una característica no expresable numéricamente. Por ejemplo, si en un conjunto de personas se considera su estado civil (soltero, casado, viudo, separado) o el color de su cabello, se estará ante estadísticas de atributos. El único dato numérico que va a aparecer en estas estadísticas es la frecuencia de cada atributo. Si bien no permite establecer promedios ni medidas de dispersión, esta frecuencia puede constituir, mediante su proporción con el total o por su porcentaje, un reflejo de la estructura de la población con respecto a cada atributo. Por ejemplo, la siguiente tabla, establecida en una determinada ciudad A:. Atributo. Frecuencia. Solteros. 32.560. Casados. 254.320. Viudos. 6.416. Separados. 12.514. Total. 305.810. refleja, por ejemplo, que el 83,16% de los habitantes de esta ciudad están casados. El cálculo sería el siguiente:. % casados = · 100 = 83,16. Por otra...

Se conoce por estadísticas sociales a las que, aplicadas a la población humana, estudian fenómenos relativos a la misma. Entre ellas ocupan un rango superior las denominadas estadísticas demográficas, que contemplan las poblaciones desde un punto de vista estático y otro dinámico. En el aspecto estático, se considera la población en su vertiente geográfica, estudiando su distribución en zonas rurales, semiurbanas (poblaciones pequeñas) y urbanas y desde un punto de vista antropológico (distribución por sexos y edades). Otros aspectos ligados con la demografía estática son la actividad económica (sectores primario, secundario y terciario) y las características familiares, que permiten determinar el porcentaje de solteros, casados, separados, etcétera. En el aspecto dinámico, uno de los parámetros más importantes es el llamado crecimiento vegetativo, que se determina mediante las tasas de natalidad y mortalidad. Ambas son, respectivamente, el cociente, multiplicado por mil, entre...

Experimentos aleatorios. La parte de las matemáticas que se ocupa del estudio de los sucesos aleatorios, que serán definidos en el epígrafe siguiente, es conocida con el nombre de cálculo de probabilidades, teoría de las probabilidades o análisis probabilístico. Su origen se remonta al siglo XVII, época en la que en muchos países de Europa, Francia e Italia principalmente, los juegos de azar, en los que se arriesgaban grandes sumas, eran entretenimiento frecuente, sobre todo en círculos nobiliarios. Un aristócrata jugador, el caballero de Méré, llegó a la conclusión, a través de su práctica en el juego, de que en determinados juegos de azar, sobre todo en los que se daba una cierta regularidad, algunas apuestas eran más ventajosas que otras, por lo que se le ocurrió la idea de aplicar el aparato matemático a esos juegos, intentando descubrir alguna manera de obtener seguras ganancias. Movido por esta idea, se puso en contacto con Pascal y Fermat, dos grandes científicos de su...

Frecuencias. Dado que la estadística se ocupa de obtener consecuencias de hechos masivos, es decir, de aquellos que afectan a un gran número de personas o cosas, resulta clara la necesidad de saber en cuántas ocasiones aparece el fenómeno, siempre plasmado en una variable o en un atributo, objeto del análisis que se lleva a cabo. Ello obliga a dos tareas sucesivas. La primera consiste en contar el número de veces que tiene lugar la presencia de dicha variable o atributo y la segunda en ordenar las observaciones realizadas. Por ejemplo, si se están considerando las profesiones existentes en un colectivo, una primera labor será constatar cuántos médicos, abogados, fontaneros, albañiles, etc., se registran en el conjunto de personas consideradas; una segunda tendrá como finalidad presentar de manera organizada dichas constataciones u observaciones, lo que conducirá a la construcción de una tabla. Ambos trabajos van a llevar al concepto de frecuencia, en todas sus variantes, y a la...

Un atributo es una variable no cuantificable. Por ejemplo, en una población humana son atributos el sexo, el color del pelo, etc. El único dato numérico ligado a un atributo es su frecuencia y, por ello, ésta constituye la base para su representación por diversos métodos. Un primer procedimiento es el diagrama de barras no contiguas. Se construye tomando unos ejes cartesianos y dibujando en ellos unos rectángulos, con base en el eje de abscisas y con ordenada proporcional a la frecuencia del atributo, tomada en una cierta escala. El nombre del correspondiente atributo se coloca en la base del rectángulo. Cuando los atributos tienen una asignación geográfica, es frecuente el uso de cartogramas, representaciones consistentes en dibujar un mapa y marcar sobre él las diferentes regiones con unos símbolos convencionales. También, en algunos casos, se emplean pictogramas, gráficos que recurren a un dibujo alusivo al tema de que se trata y de tamaño proporcional, según una escala, a la...