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Algoritmos

En Matemáticas, un algoritmo es un conjunto de reglas que sirve para realizar una operación o para solucionar un problema. Cuando, por ejemplo, se enseña a un niño a sumar, se le da una serie de normas, como es la de colocar las cantidades a adicionar de manera que las cifras de las unidades queden todas ellas en la misma columna, ídem con las de las decenas, etc.; que se empiece a sumar por la columna de las unidades y que si esta adición pasa de diez, se añada el dígito correspondiente a la columna de las decenas, etc. Pues bien, todas esas reglas constituirían el algoritmo de la suma. Para que un conjunto de normas pueda ser considerado un algoritmo, debe cumplir unos requisitos. El primero es que las instrucciones deben estar en número finito, siendo, además, necesario el aplicarlas en un determinado orden secuencial. El segundo es que la aplicación del algoritmo proporcione siempre el mismo resultado. En resumen, debe suceder que:. Un determinado agente, humano o no, decide...

Aritmética

Parte de las Matemáticas que se ocupa del estudio de los números. Sus principios están ligados a los albores de la Humanidad, ya que muy pronto el hombre necesitó cuantificar para fijar las dimensiones de su patrimonio. Está claro que aquel hombre prehistórico, ganadero, necesitaba saber el número de ovejas que poseía, la cantidad de pieles de que disponía, etc. De esta manera, surgieron los números naturales (N), a los que hoy día definimos como enteros y positivos y que son los que nos sirven para contar. Aunque en un primera situación, las familias eran unidad de producción y de consumo, la división del trabajo estableció una especialización que condujo a una superproducción. De esta forma, sucedía, por ejemplo, que un determinado grupo familiar tenía exceso de leche pero carencia de pieles y otro estaba en la situación opuesta. La necesidad de conseguir aquello de lo que se carecía fue el origen del comercio, basado en un principio en el trueque. En cualquier actividad...

Las matemáticas como ciencia

El ser humano ve en las matemáticas una de sus creaciones más universales. Dotada de un lenguaje simbólico propio muy poderoso, la ciencia matemática trasciende las fronteras del idioma y puede ser comprendida sin necesidad de traducciones por los especialistas de todas las nacionalidades. Esta realidad ha llevado algunas veces a realizar propuestas tan ilustrativas como extravagantes. Éste es el caso, por ejemplo, de la presentada por el alemán Carl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más luminosos de la historia, quien, en 1920, se preguntó cómo podría advertirse a unos supuestos extraterrestres de la existencia de vida inteligente en nuestro planeta. Como respuesta, el propio Gauss sugirió trazar un gigantesco triángulo rectángulo sobre los bosques de Siberia que reprodujera el teorema de Pitágoras. El supuesto que guiaba el razonamiento de Gauss es que, si existieran civilizaciones extraterrestres avanzadas, habrían de poseer conocimientos matemáticos idealizados que,...

Matemáticas

Etimológicamente, el término matemática procede de la palabra griega mathema, que significa algo así como conocimiento, aprendizaje. Suele emplearse en plural, por lo que es más frecuente oír hablar de matemáticas que de matemática. Aunque hay diversas definiciones sobre ella, atendiendo a distintos criterios, una bastante extendida es la que afirma que es la ciencia que estudia los números, los cuales son exponentes de las cantidades, de las formas de los cuerpos planos y espaciales y de sus relaciones. Otra definición es la que afirma que la matemática es el arte de definir estructuras, a través de una absoluta abstracción, y de establecer relaciones entre ellas. De la comparación de ambas definiciones surge una manera diferente de interpretar la matemática: como ciencia o como arte. En todo caso, se trata de una disciplina en la que, a partir de unos pocos postulados y axiomas se ha edificado un cuerpo de doctrina de tan absoluta solidez que, incluso en el lenguaje popular, lo...

Número y numeración

«Todo es número», proclamaban en la antigüedad los discípulos del sabio griego Pitágoras. Más de veinte siglos después, aquel lema de las hermandades pitagóricas reverdece como nunca en la realidad corriente. Hoy todo está reglado por cantidades numéricas: la mayor altura de la corteza terrestre (en el Everest, 8.848 m) o su máxima profundidad (en las fosas Marianas del Pacífico, 11.034 m), la población y el producto nacional bruto, las cotizaciones bursátiles y los índices de la audiencia televisiva, el tiempo parcelado al minuto de la jornada diaria o los récords mundiales de atletismo. La ubicuidad del número penetra los intersticios de la vida cotidiana desde la administración y contabilidad de las empresas a la identificación en pasaportes, matrículas automovilísticas o libretas bancarias. El número es quizá la idea esencial de la matemática, el primer concepto y el más necesario. Sobre su base se sustentan disciplinas como la aritmética, el álgebra y el cálculo. Aportar una...

Números primos y compuestos

Por definición, un número primo es aquel que sólo admite como divisores el propio número y la unidad. En el caso de números sencillos (3, 5, 7, 11...) es fácil ver si un número es primo o no, pero la cuestión se complica para números aun relativamente pequeños. El primer método para la determinación de números primos fue la llamada criba de Eratóstenes. Supóngase que se quieren conocer los primos existentes entre los 100 primeros naturales. Se escribirán esos números y luego se irán tachando de dos en dos (con lo que se suprimirán los múltiplos de 2), después de tres en tres (con lo que se eliminarán los múltiplos de 3), etc. Al final, los números que queden sin tachar son los primos incluidos en el conjunto considerado. El método es laborioso, sobre todo para números algo grandes. Por ello, es más recomendable aplicar la siguiente regla: para determinar si un número es o no primo, se va dividiendo sucesivamente por los primos 2, 3, 5, 7... Si no se obtiene división exacta, se...

Números racionales

Los números racionales, que conforman un conjunto matemático denotado habitualmente por la letra Q, son aquellos susceptibles de expresarse por medio de una fracción del tipo , siendo a y b dos números enteros. Seguidamente, se considerará una propiedad de notable interés dentro de este conjunto que permite realizar tres operaciones de máxima utilidad: la reducción de fracciones a igual denominador, la comparación de fracciones y la simplificación de expresiones racionales. En primer término, se dice que dos fracciones son equivalentes cuando se verifica que:. a · d = b · c. Esta característica también puede enunciarse diciendo que, en dos fracciones equivalentes, el producto de los medios (b y c) es igual al producto de los extremos (a y d). La propiedad fundamental de los números racionales afirma que si se multiplican o dividen los dos miembros de una fracción por el mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la primera. Por ejemplo, si se multiplican por 5 los dos...

Problemas de radicación

Seguidamente se contemplarán algunas cuestiones relacionadas con la radicación. En primer lugar, se considerará la llamada propiedad fundamental de la radicación, la cual afirma que si se multiplica o divide el índice de una raíz y el exponente del radicando por un mismo número, el valor de la raíz no se altera. Es decir:. y. Esta propiedad tiene dos aplicaciones prácticas importantes: la reducción de radicales a índice común y la simplificación de radicales. Para reducir radicales a índice común se halla, en primer lugar, el mínimo común múltiplo de los índices existentes, que será el nuevo índice común. A continuación, para calcular los exponentes de los radicandos se divide en cada radical el índice nuevo entre el primitivo y el resultado se multiplica por el exponente antiguo del radicando, obteniéndose así el nuevo. Problema: Reducir a índice común. Como m.c.m. (6, 3, 4) = 12, ese será el nuevo índice común. Se calcularán ahora, según lo dicho, los nuevos exponentes del...

Signo matemático

Los signos matemáticos son símbolos o imágenes que establecen una correspondencia entre conceptos matemáticos, sirven para señalar la existencia de operaciones entre elementos o indican el tratamiento a que debe someterse un determinado ente. Los primeros símbolos que el hombre utilizó fueron los correspondientes a los dígitos (del uno al nueve), que fueron objeto de diversas representaciones. Primitivamente, el uno se simbolizaba por una raya, vertical u horizontal, el dos por dos rayas, etc., lo cual hacía complicada y embrollada la escritura de números, aun sencillos. Los griegos usaron un sistema que empleaba letras para los dígitos (asociaban las nueve primeras letras a los nueve primeros guarismos) y unos símbolos especiales para millares y decenas de millar. Por su parte, los romanos idearon un sistema posicional que permitía la escritura de cualquier cantidad con sólo siete símbolos. Fueron los árabes quienes, tomando una idea de origen hindú, propusieron el sistema...

Sistema hexadecimal

Se llama hexadecimal al sistema posicional de numeración de base 16. Los dígitos que emplea son los diez del sistema decimal, más otros seis para los que, habitualmente, se toman letras (escritas en mayúscula) que van de la A a la F. Así pues, en este sistema, los dígitos utilizados son:. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Abreviadamente, este sistema, muy empleado en informática, se suele simbolizar con la letra h, la cual sustituye al valor de la base. Es decir:. (78AB5F)16 = (78AB5F)h. Lógicamente, el paso del sistema hexadecimal al decimal, al octal y al binario, así como sus inversos, puede realizarse según las normas generales. No obstante, en la práctica suele ser mucho más cómodo y rápido tener en cuenta las equivalencias evidentes entre dígitos de ambos sistemas, que se expresan en la siguiente tabla:. Sistema decimal. Equivalente binario. Equivalente octal. Equivalente hexadecimal. 0. 0000. 0. 0. 1. 0001. 1. 1. 2. 0010. 2. 2. 3. 0011. 3....

Sistema octal

Se denomina octal a un sistema de numeración de tipo posicional y de base ocho, lo que implica que cualquier cantidad puede ser expresada mediante los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Es importante su relación con el sistema de base 10 o decimal, por lo frecuente de éste, y con el sistema de base 2, en el que se basa la codificación binaria, profusamente utilizada en informática. El paso del sistema octal al decimal se realiza teniendo presente la expresión polinómica del número en cuestión, mediante potencias de 8. Por ejemplo:. (7.534)8 = 4· 80 + 3· 8 + 5·82 + 7·83 = 4·1 + 3·8 + 5·64 + 7. 512 = 4 + 24 + 320 + 3.584 = 3.932. Recíprocamente, el paso del sistema decimal al octal se lleva a cabo dividiendo la expresión decimal por ocho, así como los sucesivos cocientes que se van logrando y tomando, en orden inverso, el ultimo cociente y los mencionados restos obtenidos. En consecuencia, si se deseara expresar en base ocho el número decimal 2.876, se actuaría del modos siguiente:. ...

Tipos de números

La necesidad de contar los elementos que rodean al hombre fue la causa de la aparición del concepto de número. Debido a esta naturaleza cardinal, los números fueron primero naturales, y más tarde se inventaron las fracciones para contar partes de la unidad. Con los números enteros (positivos y negativos) y los fraccionarios, que componen el conjunto de los racionales, se tuvieron suficientes elementos para realizar los cálculos matemáticos básicos necesarios en el desempeño cotidiano de una sociedad dedicada al comercio, la agricultura y la ganadería a pequeña escala. En los grandes imperios de la antigüedad, los cálculos matemáticos se sofisticaron de forma considerable. Se plantearon de modo abstracto los primeros problemas de geometría, fundamentalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, y con ello vieron la luz los números irracionales, no expresables en forma de fracción y resultantes de ciertas relaciones geométricas como la que existe entre la longitud de la circunferencia...